6.2线性代数

行列式

使用numpy.linalg子包的det函数计算指定矩阵的行列式。

如图6-7所示，打开Excel 365后，在A1:C3单元格区域中输入矩阵数据，用鼠标单击F1单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

a=xl("A1:C3").values
np.linalg.det(a)

单击Ctrl+Enter键，F1单元格中输出矩阵的行列式的值如图6-7所示。注意，xl(‘A1:C3’)返回的是一个DataFrame，即带索引的二维数组。用DataFrame对象的values属性，获取该对象的值。

在A5:C7单元格区域中输入第2个矩阵数据，用鼠标单击F5单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

a=xl("A5:C7").values
np.linalg.det(a)

单击Ctrl+Enter键，F5单元格中输出第2个矩阵的行列式的值如图6-7所示。因为第2个矩阵是一个奇异矩阵，它的行列式的值为0。

图6-7 求矩阵的行列式

向量运算

向量、矩阵和数组这几个概念大家要搞清楚。向量和矩阵是数学概念，数组是计算机概念。它们之间的对应关系是，向量是一维数组，包括行向量和列向量等；矩阵是二维数组。Series和DataFrame则是带索引的一维数组和二维数组，是结构化数组。

如图6-8所示，首先打开Excel 365，在A1:E1单元格区域中输入第1个向量的值，在A2:E2单元格区域中输入第2个向量的值，用鼠标单击B4单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

x=xl("A1:E1")
y=xl("A2:E2")
x=x.values[0]
y=y.values[0]
x+y

单击Ctrl+Enter键，B4单元格中输出向量相加的结果如图6-8所示。

注意，xl(“A1:E1”)返回的是一个DataFrame，不是向量。利用DataFrame对象的values属性返回一个二维数组，用[0]进一步索引，得到二维数组里面的第1个元素，它是我们需要的向量。

图6-8 向量运算

用鼠标单击B5单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

x=xl("A1:E1")
y=xl("A2:E2")
x=x.values[0]
y=y.values[0]
x-y

单击Ctrl+Enter键，B5单元格中输出向量相减的结果如图6-8所示。

用鼠标单击B6单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

x=xl("A1:E1")
x=x.values[0]
x*10

单击Ctrl+Enter键，B6单元格中输出向量乘以常数的结果如图6-8所示。

用鼠标单击B7单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

x=xl("A1:E1")
y=xl("A2:E2")
x=x.values[0]
y=y.values[0]
np.dot(x,y)

单击Ctrl+Enter键，B6单元格中输出两个向量点乘的结果如图6-8所示。注意，点乘是将两个向量的对应元素相乘，然后将所有乘积相加。

6.2.3矩阵的四则运算

矩阵的四则运算包括矩阵相加、相减、相乘、点乘、相除和点除等运算，其中点乘和点除是将矩阵的对应元素相乘和相除。

如图6-9所示，首先打开Excel 365，在A1:B2单元格区域中输入第1个矩阵[[1 3],[4 6]]，在D1:E2单元格区域中输入第2个矩阵[[6 1],[9 3]]，用鼠标单击B4单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

x=xl("A1:B2").values
y=xl("D1:E2").values
np.add(x,y)

单击Ctrl+Enter键，B4单元格中输出两个矩阵相加的结果如图6-9所示。

图6-9 矩阵的四则运算

用鼠标单击B5单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

x=xl("A1:B2").values
y=xl("D1:E2").values
np.subtract(x,y)

单击Ctrl+Enter键，B5单元格中输出两个矩阵相减的结果如图6-9所示。

用鼠标单击B6单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

x=xl("A1:B2").values
y=xl("D1:E2").values
np.multiply(x,y)

单击Ctrl+Enter键，B6单元格中输出两个矩阵点乘的结果如图6-9所示。

用鼠标单击B7单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

x=xl("A1:B2").values
y=xl("D1:E2").values
np.dot(x,y)

单击Ctrl+Enter键，B7单元格中输出两个矩阵相乘的结果如图6-9所示。

用鼠标单击B8单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

x=xl("A1:B2").values
y=xl("D1:E2").values
np.divide(x,y)

单击Ctrl+Enter键，B8单元格中输出两个矩阵点除的结果如图6-9所示。

用鼠标单击B9单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

x=xl("A1:B2").values
y=xl("D1:E2").values
z=np.linalg.inv(x)
np.dot(z,y)

单击Ctrl+Enter键，B9单元格中输出两个矩阵相除的结果如图6-9所示。注意，Python中并没有直接求矩阵相除的函数，实现矩阵相除，是先求x矩阵的逆矩阵，然后用该逆矩阵乘以y矩阵。

6.2.4更多矩阵运算

本小节继续介绍矩阵转置、矩阵求逆和矩阵重塑等常见操作。

如图6-10所示，首先打开Excel 365，在A1:C3单元格区域中输入第1个矩阵[[1 2 0],[2 5 -1],[4 10 -1]]，在E1:H3单元格区域中输入第2个矩阵[[1 4 7 10],[2 5 8 11],[3 6 9 12]]，用鼠标单击B5单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

a=xl("A1:C3").values
np.transpose(a)

单击Ctrl+Enter键，B5单元格中输出第1个矩阵转置后的结果如图6-10所示。

图6-10 矩阵的转置、求逆和重塑运算

用鼠标单击B6单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

a=xl("A1:C3").values
np.linalg.inv(a)

单击Ctrl+Enter键，B6单元格中输出第1个矩阵的逆矩阵如图6-10所示。

用鼠标单击B7单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

a=xl("E1:H3").values
np.reshape(a,[2,6])

单击Ctrl+Enter键，B7单元格中输出第2个矩阵重塑为2行6列矩阵的结果如图6-10所示。

6.2.5矩阵的分解

本小节介绍矩阵分解中常见的LU分解和QR分解。LU分解是线性方程组的求解方法中高斯消去法的基础，它将方程组的系数矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵。QR分解将实数矩阵分解为Q矩阵和R矩阵，其中Q矩阵为正交矩阵，R为上三角矩阵。

如图6-11所示，首先打开Excel 365，在A1:C3单元格区域中输入矩阵[[1 2 0],[2 5 -1],[4 10 -1]]，用鼠标单击B5单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

import scipy as sp
a=xl("A1:C3").values
r=sp.linalg.lu(a)

单击Ctrl+Enter键，B5单元格中输出矩阵LU分解的结果如图6-11所示。

图6-11 矩阵分解

用鼠标单击B6单元格，在公式文本框中输入“=PY(”进入Python模式。在公式文本框中输入下面的代码：

import scipy as sp
a=xl("A1:C3").values
r=sp.linalg.qr(a)

单击Ctrl+Enter键，B6单元格中输出矩阵QR分解的结果如图6-11所示。